Ćwiczenie 12. Objętość sześcianu S 1 jest równa 48 6 m 3, a sześcianu S 2 jest równa 42 10 m 3. Który sześcian ma dłuższą krawędź? Pokaż rozwiązanie. Materiał zawiera 2 filmy, 16 ćwiczeń, w tym 11 interaktywnych. Filmy: sposób włączania czynnika pod znak pierwiastka, zastosowania włączania czynnika pod znak pierwiastka. 1 h 33 min 2023. 13+. Romance · Comedy. ads Free with ads on Freevee. When Graham decides to surprise his family by traveling home for Christmas, he is shocked to discover them already celebrating with an unexpected guest of honor, his ex-fiancée, Ali. The two exes battle it out to see who the family will pick to stay through Christmas Day With a bore of 78 millimetres (3.1 in) and 73 millimetres (2.9 in) of stroke, the engine displaced 697 cubic centimetres (42.5 cu in). The engine originally used a single Solex 34PCI carburetor and had a compression ratio of 7.5:1, resulting in a power output of 30 horsepower (22 kW). Reception Kamil: pierwiastek trzeciego stopnia z 3 i to wszytso do kwadratu, czyli ( 3√3) 2 ( 3√3) 2 = 3√32 = 3√9. 7 paź 20:20. andrzej: =9 ( 1/3) 7 paź 21:22. aaa: 3√3. 29 wrz 08:27. pilne ; ): 3√5. 2 paź 21:05. miska: ile to jest (3√3 stopnia 3 )do kwadratu. a2=(1+perwiastek z 2)/2, czyli całość ma być przez 2 czy tylko pierwiastek z 2 /2 a1 =1 a2=1+pierwiastek z dwóch przez dwa a3=1+ pierwiastek z dwoch zapisz dokładanie który wyraz ciągu jest podany,czy to jest wyraz pierwszy i wyraz drugi Kalkulator obliczający pierwiastki zespolone stopnia n z podanej liczby zespolonej zz. Wpisz liczbę zespoloną. Podaj stopień pierwiastka zespolonego. Oblicz pierwiastki zespolone. Zobacz również kalkulator liczb zespolonych oraz kalkulator dzielenia liczb zespolonych krok po kroku. « Poprzednie. XDPp4J. zapytał(a) o 19:07 Pierwiastek z 2 odjąć 1 = ILE ? POMÓŻCIE! Błagam! Odpowiedzi √2-1/√2+1= √2-1/√2+1 * √2-1/√2-1=(√2-1)²/(√2)²-1²= 2-2√2+1/2-1= 3-2√2 blocked odpowiedział(a) o 19:09 Jeżeli potrzebujesz konkretnego wyniku, to możesz podać wartość pierwiastka z 2 tylko w przybliżeniu, czyli:1,411,41-1=0,41 Hmm, jeśli miałaś działanie i taki wyszedł wynik, to jest już koniec : >Ale jeśli musisz to obliczyć, to wyjdzie:1,4142136 - 1 = 0,4142136 Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub Spis treści1. Co to jest liczba zespolona? Postać algebraiczna2. Część rzeczywista i urojona3. Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?4. Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych5. Mnożenie liczb zespolonych6. Dzielenie liczb zespolonych7. Sprzężenie liczby zespolonej8. Moduł liczby zespolonej9. Argument główny liczby zespolonej10. Postać trygonometryczna liczby zespolonej11. Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonych12. Pierwiastkowanie liczb zespolonych13. Postać wykładnicza i wzory Eulera14. Pułapki związane z jednostką urojoną 15. Sprawdź swoją wiedzę o liczbach zespolonych - zadania kontrolne1. Co to jest liczba zespolona? Postać algebraicznaKażdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci algebraicznej:\[z=x+yi\]gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\) (są liczbami rzeczywistymi), a "\(i\)" jest tzw. jednostką urojoną; liczbą, która po podniesieniu do kwadratu daje \(-1\):\(i^2=-1\)Każda liczba rzeczywista jest liczbą zespoloną, innymi słowy zbiór liczb rzeczywistych \(\mathbb{R}\) stanowi podzbiór liczb zespolonych, który oznaczamy symbolem \(\mathbb{C}\), tj. \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).Przykłady liczb zespolonych\[0=0+0i\]\[-2=-2+0i\]\[2+3i\]\[\sqrt{2}-5i\]CIEKAWOSTKA: Liczby zespolone, choć wydają się dziwnym tworem szalonego matematyka, mają ogromne zastosowania w wielu dziedzinach, np. w inżynierii elektrycznej, chemii, fizyce, medycynie, teorii sterowania. Pierwiastek z liczby ujemnej nie jest pomysłem pozbawionym logiki, ponieważ pozwala wykonać wiele ważnych obliczeń, których wynik jest "normalną" liczbą rzeczywistą. Liczby zespolone są, orócz macierzy i wyznaczników, jednym z podstawowych działów algebry Część rzeczywista i urojonaKoniecznie zapamiętaj dwa pojęcia związane z liczbami rzeczywistą liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(Re(z)\) oraz\[Re(z)=x\]Natomiast część urojoną liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy przez \(Im(z)\) oraz \[Im(z)=y\]Przykład 1Częścią rzeczywistą liczby \(2+i\) jest 2, a częścią urojoną jest 1, możesz to zapisać następująco:\[Re(2+i)=2\]\[Im(2+i)=1\]Przykład 2Część rzeczywista każdej liczby rzeczywistej jest równa tej liczbie, a część urojona liczby rzeczywistej jest równa zero:\[Re(-5)=-5\]\[Im(-5)=0\]Przykład 3Część rzeczywista każdej liczby czysto urojonej jest równa zero, a część urojona jest równa liczbie stojącej obok "\(i\)"\[Re(-2i)=0\]\[Im(-2i)=-2\]Przykład 4\[Re(x-y+2xi)=x-y\]\[Im(x-y+2xi)=2x\]Wyznacz część rzeczywistą i urojoną, moduł, argument i sprzężenie oraz postać trygonometryczną liczby zespolonej w kalkulatorze liczb zespolonych mojego Kiedy dwie liczby zespolone są sobie równe?Dwie liczby zespolone \(z_1=x_1+y_1i,\,\,z_2=x_2+y_2i\) są równe, wtedy i tylko wtedy, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe:\[z_1=z_2\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,\left\{\begin{array}{l}Re(z_1)=x_1=x_2=Re(z_2)\\Im(z_1)=y_1=y_2=Im(z_2)\end{array}\right.\]Przykład 1Przykład liczb zespolonych, które nie są sobie równe:\[2+5i\neq 5+2i\]ponieważ ich części rzeczywiste i urojone nie są równePrzykład 2Równość liczb zespolonych wykorzystywana jest bardzo często przy rozwiązywaniu równań zespolonych, oto przykład:\[z^2=i\]\[(x+yi)^2=i\]\[x^2+2xyi-y^2=i\]Porównujemy części rzeczywiste i urojone obu stron równania:\[\left\{\begin{array}{l}Re(x^2+2xyi-y^2)=Re(i)\\Im(x^2+2xyi-y^2)=Im(i)\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x^2-y^2=0\\2xy=1\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}(x-y)(x+y)=0\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\]\[\left\{\begin{array}{l}x=y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,lub\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-y\\xy=\frac{1}{2}\end{array}\right.\,\,(x,y\in\mathbb{R})\]\[\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\,\,\,\,lub\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\]Ostatecznie liczby spełniające równanie \(z^2=i\) są postaci:\[z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\,\,\,\,lub\,\,\,\,z=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\]Działania na liczbach zespolonych4. Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonychLiczby zespolone dodajemy (odejmujemy) poprzez dodanie (odjęcie) osobno części rzeczywistych i urojonych, podobnie jak przy dodawaniu/odejmowaniu wielomianów tj. \(a+bx+c+dx=(a+c)+(b+d)x\). Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to\[z_1+ z_2=(x_1+y_1i)+ (x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\]\[z_1- z_2=(x_1+y_1i)-(x_2+y_2i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i\]Przykład 1\[i+2i=3i\]Przykład 2\[2+i+3-\sqrt{3}i=5+(1-\sqrt{3})i\]Przykład 3\[\frac{1}{2}+i-\left(2+\frac{1}{2}i\right)=\left(\frac{1}{2}-2\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)i=-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\]Zauważ, że część rzeczywista sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą części rzeczywistych:\[Re\left(z_1\pm z_2\right)=x_1\pm x_2\]Podobnie część urojona jest sumą/różnicą części urojonych:\[Im\left(z_1\pm z_2\right)=y_1\pm y_2\]5. Mnożenie liczb zespolonychLiczby zespolone mnożymy podobnie jak wykonuje się mnożenie wielomianów tj. \((a+bx)(c+dx)=ac+adx+bcx+bdx^2\). Dodatkowo pamiętamy, że \(i^2=-1\). Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to\[z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot (x_2+y_2i)=x_1 x_2+x_1 y_2 i+y_1x_2 i+y_1 y_2 i^2=\]\[=x_1 x_2-y_1 y_2+(x_1 y_2+ y_1 x_2)i\]Przykład 1\[i(2+i)=2i+i^2=-1+2i\]Przykład 2\[(3-\sqrt{2}i)(-1-i)=-3-3i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i^2=-(3+\sqrt{2})-(3+\sqrt{2})i\]Zauważ, że część rzeczywista iloczynu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 x_2-y_1y_2\]Natomiast część urojona iloczynu to:\[Im\left(z_1\cdot z_2\right)=x_1 y_2+y_1 x_2\]6. Dzielenie liczb zespolonychDzielenie liczb zespolonych wykonuje się podobnie jak przy usuwaniu niewymierności z mianownika w przypadku wyrażeń algebraicznych. Bardzo przydaje się tu następujący wzór skróconego mnożenia \((x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\).Jeżeli \(z_1=x_1+y_1i\), \(z_2=x_2+y_2i\), to\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2 i}\cdot \frac{x_2-y_2 i}{x_2-y_2 i}=\frac{(x_1+y_1 i)\cdot (x_2-y_2 i)}{x^2_2+y^2_2}=\]\[=\frac{x_1 x_2-x_1 y_2 i+y_1 x_2 i+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}+\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}i\]Przykład 1\[\frac{1}{i}=\frac{1}{i}\cdot \frac{(-i)}{(-i)}=\frac{-i}{-i^2}=-i\]Przykład 2\[\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1-(-1)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\]Przykład 3\[\frac{1}{z}=\frac{1}{x+yi}\cdot \frac{(x-yi)}{(x-yi)}=\frac{x-yi}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i\]Sprawdź wynik w kalkulatorze dzielenia liczb że część rzeczywista ilorazu liczb zespolonych jest postaci:\[Re\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{x_1 x_2+y_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]Natomiast część urojona ilorazu to:\[Im\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\frac{y_1 x_2-x_1 y_2}{x^2_2+y^2_2}\]Kliknij i zobacz więcej przykładów działań na liczbach zespolonych7. Sprzężenie liczby zespolonejSprzężenie liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(\overline{z}\):\[\overline{z}=x-yi\]Przykład 1\[\overline{1+i}=1-i\]Przykład 2\[\overline{5-2i}=5+2i\]Przykład 3\[\overline{(-i)}=i\]Przykład 4\[\overline{1}=1\]Część rzeczywista sprzężenia \(\overline{z}\) jest taka sama jak część rzeczywista liczby \(z\), natomiast część urojona sprzężenia \(\overline{z}\) jest liczbą przeciwną do części urojonej liczby \(z\):\[Re(\overline{z})=Re(z)\]\[Im(\overline{z})=-Im(z)\]Zapamiętaj najważniejsze własności sprzężeniaSprzężenie sumy/różnicy liczb zespolonych jest sumą/różnicą sprzężenień:\[\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}\]Sprzężenie iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem sprzężenień:\[\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}\] Sprzężenie ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem sprzężeń:\[\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\]8. Moduł liczby zespolonejModuł liczby zespolonej \(z=x+yi\) oznaczamy symbolem \(|z|\):\[|z|=\sqrt{x^2+y^2}\]Moduł liczby zespolonej \(z\) jest liczbą rzeczywistą nieujemną (\(|z|\ge 0\)), co więcej interpretuje się jako odległość tej liczby od początku układu 1\[|1|=|1+0i|=\sqrt{1^2+0^2}=1\]Przykład 2\[|-2i|=|0-2i|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{4}=2\]Przykład 3\[|-3+4i|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\]Zapamiętaj najważniejsze własności modułu zespolonegoModuł każdej liczby zespolonej jest liczbą rzeczywistą nieujemną:\[|z|\ge 0\]Moduł liczby \(z\) jest równy modułowi jej sprzężenia i liczby przeciwnej:\[|z|=|\overline{z}|=|-z|\]Kwadrat modułu liczby \(z\) jest równy iloczynowi liczby \(z\) i jej sprzężenia:\[|z|^2=z\cdot \overline{z}\]Moduł iloczynu liczb zespolonych jest iloczynem modułów:\[|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|\]Moduł ilorazu liczb zespolonych jest ilorazem modułów:\[\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\]Moduł potęgi liczby zespolonej jest równy potędze modułu:\[|z^n|=|z|^n\]Na stronie możesz łatwo i szybko sprawdzić jaki jest moduł i argument liczby zespolonej. Wystarczy po prostu wpisać w odpowiednim polu liczbę zespoloną dla której chcesz obliczyć moduł i argument (zobacz przykład tutaj)Możesz też użyć kalkulatora liczb Argument główny liczby zespolonejto kąt należący do przedziału \([0,2\pi)\) utworzony pomiędzy dodatnią częścią osi rzeczywistej (\(Re(z)\)), a promieniem wodzącym liczby \(z\).Niech \(z=x+yi\) oraz \(\arg(z)=\alpha\), wtedy\[\sin \alpha=\frac{y}{|z|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\]\[\cos \alpha=\frac{x}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\]Zwykle spotkasz się z założeniem: \(0\le \arg(z)0,\,y>0\)): \[\arg(z)=arctg\left(\frac{y}{x}\right),\,\,x>0,\,\,y>0\]Zwykle stosuje się metodę graficzną (to podstawa!) plus jedna z metod 2 lub sposób wyznaczania argumentu:1 określ, w której ćwiartce płaszczyzny zespolonej leży argument (aby to zrobić wystarczy zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie i zobaczyć w której ćwiartce się znajduje) 2. wyznacz wartość takiego kąta \(\alpha\) leżącego w ćwiartce wyznaczonej w pkt 1, którego sinus jest równy \(\frac{y}{|z|}\) lub cosinus jest równy \(\frac{x}{|z|}\). Wystarczy obliczyć tylko wartość sinusa lub tylko wartość cosinusa, nie trzeba liczyć \(z=x+yi\), gdzie \(x,y\in\mathbb{R}\). Gdy liczba zespolona \(z\) leży w I ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\ge 0\)), to: \[0\le \arg(z)\le \frac{\pi}{2}\]Gdy liczba zespolona \(z\) leży w II ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\ge 0\)), to: \[\frac{\pi}{2}\le \arg(z)\le \pi\]Gdy liczba zespolona \(z\) leży w III ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\le 0,y\le 0\)), to: \[\pi\le \arg(z)\le \frac{3}{2}\pi\]Gdy liczba zespolona \(z\) leży w IV ćwiartce płaszczyzny zespolonej (\(x\ge 0,y\le 0\)), to: \[\frac{3}{2}\pi\le \arg(z)\le 2\pi\]Zapamiętaj wartości sinusa i cosinusa podstawowych kątów:Kliknij i zobacz więcej przykładów jak liczyć moduł, sprzężenie i argument10. Postać trygonometryczna liczby zespolonejKażdą liczbę zespoloną można zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej:\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\]gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\).Przykład 1\[1=1\cdot (\cos(0)+i\sin(0))=\cos(0)+i\sin(0)\]Przykład 2\[i=1\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\]Przykład 3\[1+i=\sqrt{2}\cdot \left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]Zapamiętaj najważniejsze własności cosinusa i sinusaCosinus jest funkcją parzystą, a sinus nieparzystą:\[\cos (-\alpha)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(-\alpha)=-\sin \alpha\]Funkcje trygonometryczne są okresowe (k jest liczbą całkowitą):\[\cos (\alpha+2k\pi)=\cos \alpha,\,\,\,\,\sin(\alpha+2k\pi)=\sin \alpha\]11. Wzór de Moivre'a i potęgowanie liczb zespolonychJeżeli \(z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha),\) oraz \(n\in\mathbb{N}\), to\[z^n=|z|^n(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)^n=|z|^n\big(\cos (n\alpha) +i\cdot \sin (n\alpha)\big)\]Przykład\[(1+i)^8=(\sqrt{2})^8\cdot \left(\cos\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(8\cdot \frac{\pi}{4}\right)\right)=\]\[=2^4\cdot \left(\cos\left(2\pi\right)+i\sin\left(2\pi\right)\right)=16\cdot (1+0)=16\]Możemy sprawdzić jeszcze wynik w kalkulatorze schemat potęgowania liczb zespolonych1. Zapisz liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, w tym celu oblicz jej moduł i argument2. Zastosuj wzór de Moivre'a3. Przejdź z powrotem na postać algebraiczną, w tym celu oblicz wartości cosinusa i sinusa12. Pierwiastkowanie liczb zespolonychPierwiastek zespolony stopnia \(n\in\mathbb{N}\) z liczby \(z\) to każda liczba \(w\) spełniająca równość:\[w^n=z\]Zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych liczby \(z\) oznaczamy przez \(\sqrt[n]{z}\), taki zbiór zawiera dokładnie n liczb, które oznaczamy przez \(z_0,z_1,\ldots,n-1\):\[\sqrt[n]{z}=\{z_0,z_1,\ldots,z_{n-1}\}\]UWAGA: Pierwiastek zespolony i "zwykły" pierwiastek z liczby rzeczywistej, to dwa zupełnie inne pojęcia. Różnica jest taka, że pierwiastek zespolony to zbiór wszystkich rozwiązań równania \(w^n=z\) (tych rozwiązań jest dokładnie \(n\)), natomiast pierwiastek z liczby rzeczywistej to jedna 1Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(-1\), to zbiór złożony z liczb \(i\) oraz \(-i\):\[\sqrt{-1}=\{i,-i\}\]ponieważ \(i^2=-1\) oraz \((-i)^2=-1\).W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(-1\) w ogóle nie istnieje!Przykład 2Pierwiastek zespolony 2-go stopnia z liczby \(1\), to zbiór złożony z liczb \(1\) oraz \(-1\):\[\sqrt{1}=\{1,-1\}\]ponieważ \(1^2=1\) oraz \((-1)^2=1\).W przypadku liczb rzeczywistych pierwiastek 2-go stopnia z liczby \(1\) jest równy 1\[\sqrt{1}=1\]Kliknij i sprawdź obliczenia w kalkulatorze pierwiastków zespolonychKażdy z pierwiastków n-tego stopnia liczby zespolonej \(z\) możemy obliczyć ze wzoru:\[z_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=0,1,\ldots,n-1\]gdzie \(|z|\) to moduł, natomiast \(\alpha\) to argument liczby \(z\).Dla przykładu \(z_0,\,z_1,\,z_2\) są następującej postaci:\[z_0=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\]\[z_1=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2\pi}{n}\right)\right)\]\[z_2=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+4\pi}{n}\right)\right)\]Gdy znamy pierwiastek \(z_0\), to każdy następny pieriwastek da się obliczyć ze wzoru:\[z_k=z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right),\,\,\,dla\,\,\,k=1,2,\ldots,n-1\]Powyższy wzór wynika z poniższych przekształceń, w których używamy mnożenia liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej:\[z_0\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha}{n}\right)\right)\left(\cos\left(\frac{2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{n}\right)\right)=\]\[=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)\right)\]Interpretacja geometryczna pierwiastków z liczby zespolonejZbiór pierwiastków stopnia \(\ge 3\) tworzy na płaszczyźnie zespolonej n-kąt foremny wpisany w okrąg o promieniu \(\sqrt[n]{|z|}\) i środku w początku układu współrzędnych. Gdy n=3 to otrzymamy trójkąt równoboczny, dla n=4 otrzymamy kwadrat. Dzięki interpretacji geometrycznej zbioru pierwiastków zespolonych możesz łatwo sprawdzić swoje obliczenia, wystarczy narysować wszystkie pierwiastki na płaszczyźnie i zobaczyć, czy tworzą wielokąt i zobacz więcej przykładów pierwiastkowania liczb zespolonych13. Postać wykładnicza i wzory EuleraKażdą liczbę zespoloną można zapisać również w postaci wykładniczej:\[z=|z|(\cos \alpha +i\cdot \sin \alpha)=|z|e^{i\alpha},\]gdzie \(|z|\) to moduł liczby zespolonej \(z\), \(\alpha=\arg(z)\) to argument liczby \(z\), \(e\) to liczba Eulera (Nepera) oraz \(e^{i\alpha}=\cos \alpha+i\sin \alpha\)PrzykładOto tożsamość Eulera, która uznawana jest za najpiękniejszy wzór matematyczny:\[e^{i\pi}=\cos \pi+i\sin \pi=-1\]gdy powyższą tożsamość zapiszemy w postaci \(e^{i\pi}+1=0\), to w jednym równaniu będą występowały najważniejsze stałe matematyczne \(0,1,\pi,e,i\)Z postacią wykładniczą związane są wzory Eulera:\[\cos \alpha=\frac{e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}}{2},\,\,\,\sin \alpha=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}\]Wzory Eulera pojawiąją się najczęściej w zadaniach, w których należy zapisać funkcje trygonometryczne wielokrotności kątą w innej Pułapki związane z jednostką urojoną We wszelkich obliczeniach na liczbach zespolonych stosuj definicję jednostki urojonej, tj.:Jednostką urojoną nazywamy liczbę \(i\), taką, że \[i^2=-1\]Jednostka urojona to formalnie jeden z dwóch elementów zbioru liczb zespolonych spełniających warunek \(i^2=-1\), drugim elementem jest liczba \(-i\), ponieważ \((-i)^2=(-1)^2\cdot i^2=-1\).Często możesz spotkać się z zapisem\[i=\sqrt{-1}\]który choć nieformalny (czyli niepoprawny matematycznie - zobacz część poświęconą pierwiastkowaniu liczb zespolonych) jest akceptowalny. Musisz jednak zachować ostrożność!Do czego może prowadzić stosowanie zapisu \(i=\sqrt{-1}\)?Oto przykłady sprzeczności jakie możena otrzymać stosując zapis \(i=\sqrt{-1}\):\[-1=i^2=i\cdot i=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=\sqrt{(-1)\cdot (-1)}=\sqrt{1}=1\]\[\frac{1}{i}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}=\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{-1}=i\]Powyższe sprzeczności wynikąją z nieuprawnionego zastosowania własności pierwiastka rzeczywistego w przypadku pierwiastków zespolonych (które nie są liczbami, a zbiorami liczb - zobacz część tego poradnika o pierwiastkowaniu liczb zespolonych).Ważne: Przy rozwiązywaniu zadań nigdy nie zamieniaj symbolu \(i\) na \(\sqrt{-1}\), jeśli jest "i" to niech tak zostanie, ale jeśli masz \(i^2\), \(i^3\) itp. to już spokojnie możesz zastosować definicję i napisać \(i^2=-1\) lub np. \(i^3=i^2\cdot i=-1\cdot i=-i\).15. Sprawdź swoją wiedzę o liczbach zespolonych - zadania kontrolne3. Podaj część rzeczywistą i urojoną liczb zespolonych\[z_1=1,\,\,\,z_2=i,\,\,\,z_3=1+i\]Jeżeli \(z=x+yi\), to \(Re(z)=x\) (część rzeczywista) oraz \(Im(z)=y\) (część urojona), zatem:\[Re(z_1)=Re(1)=1\]\[Im(z_1)=Im(1)=0\]\[Re(z_2)=Re(i)=0\]\[Im(z_2)=Im(i)=1\]\[Re(z_3)=Re(1+i)=1\]\[Im(z_3)=Im(1+i)=1\]2. Oblicz\[i^3=?\]Skorzystamy z definicji jednostki urojonej, tj. \(i^2=-1\):\[i^3=i^{2+1}=i^2 \cdot i=-1\cdot i=-i\]3. Uzasadnij, że prawdziwy jest wzór skróconego mnożenia:\[(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2\]Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \((x-y)(x+y)=x^2-y^2\) oraz z definicji jednostki urojonej, tj. \(i^2=-1\):\[(x+yi)(x-yi)=x^2-(yi)^2=x^2-y^2 i^2=x^2-(-1)y^2=x^2+y^2\]Wzór ten możemy też oczywiście wyprowadzić korzystając tylko z własności działań na liczbach zespolonych (mnożymy kolejne wyrażenia w nawiasach):\[(x+yi)(x-yi)=x^2-xyi+xyi-(yi)^2=x^2-y^2 i^2=x^2-(-1)y^2=x^2+y^2\]4. Oblicz moduły liczb zespolonych\[z_1=i,\,\,\,z_2=1+i,\,\,\,z_3=-1-i\]Korzystamy z definicji modułu liczby zespolonej. Jeżeli \(z=x+yi\), to \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\):\[|z_1|=|i|=\sqrt{0^2+1^2}=1\]\[|z_2|=|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\]\[|z_3|=|-1-i|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\]Zrób kolejny krok i ucz się liczb zespolonych na przykładach $\sqrt[2]{1}=?$$\sqrt[2]{1}=1$

pierwiastek z 1 2